대각화

학습목표

 이번 강의에서는 고유값 분해와 밀접한 관련을 가지는 대각화의 개념에 대해 배워보겠습니다. 이는 나중에 배울 특이값 분해(SVD, Singular Value Decomposition)와도 밀접한 관련이 있으니 숙지하고 넘어가시길 바랍니다.

핵심 키워드

• 대각화행렬(Diagonalizable Matrix)

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 이제 대각화(Diagonalize)를 생각해보죠. 기본적으로 이건 정방행렬에 대해 생각하는 개념이구요. Diagonal matrix라는, (i,i)의 값만 존재하고 나머지 좌표의 값은 0인 그런 행렬로 변환하는 과정을 대각화라고 생각하시면 됩니다. 다만 이건 모든 행렬에 대해 가능한게 아니라, 되는 행렬이 있고, 안되는 행렬이 있습니다. 아래 식에 등장하는 V matrix를 찾을 수 있는가 없는가로 구분할 수 있겠습니다. 이렇게, 대각화가 가능한 행렬을 Diagonalizable matrix라고 부릅니다.

 그럼 이러한 Diagonal matrix를 어떻게 찾을 것인가. 아래 수식의 두 번째를 잘 보셔야합니다. 좌측에서 우측은 갈 수 있찌만, 우측에서 좌측은 불가능합니다. V라는 행렬이 역행렬이 존재할 때는 우측에서 좌측이 가능하겠죠.

 AV와 VD를 각각 생각해봅시다. AV에서 V라는건, n개의 컬럼을 가지니까, 아래와 같이 연산할 수 있겠죠. 그리고 VD도 마찬가지로 아래와 같이 연산될겁니다. 그러면 이제, AV=VD라는 식에서, Av1=r1v1, Av2=r2v2, ... 라는 등식을 얻어낼 수 있겠죠.

 그렇게 정리된 각각의 식이, 생각해보면 고유벡터에 해당하는 식과 정확히 동일합니다. 고유값 r1,r2,...,rn에 대한 고유벡터 v1,v2,..,vn이 된 셈이죠. 그런 관점에서 보면 V가 역행렬을 갖기 위해서는, 정방행렬이 되어야하고, 즉슨 n개의 고유벡터들이 반드시 선형독립이어야겠죠. 

 따라서 아래의 그림과 같이, V는 반드시 정방행렬이어야하고, n개의 선형독립 컬럼을 가져야합니다. V는 고유벡터의 컬럼이었기 때문에, (A-rI)x=0를 생각해볼 때, A matrix가 반드시 n개의 선형독립 고유벡터를 지녀야만합니다. 그렇지 않다면, Diagonalizable하지 않게 되는 것이겠죠. 이상입니다.