특성방정식

학습목표

 이번 시간에는 지난 시간에 배운 새로운 벡터 공간의 개념을 바탕으로 고유벡터와 고유값을 더 깊이 이해하고 특성방정식(Charateristic Equation)을 통해 이들을 구하는 법을 알아보겠습니다.

핵심 키워드

• 특성방정식(Characteristic Equation)

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 자 앞서 영공간에 대해 살펴봤는데, 다시 고유벡터로 돌아와봅시다. 고유벡터와 고유값을 구하기 위한 식이 아래와 같은 식이고, A-rI를 B로 치환하면 이는 결국 Bx=0라는 식의 솔루션, 즉 Nul B가 되는 셈입니다. 그리고 이러한 공간을, Eigenspace라고 하죠. 앞서 봤던 Rank-Nullity thm의 내용을 그대로 쓸 수 있겠죠. A-rI가 3차원일 때, A-rI가 2개의 기저벡터를 갖는다면, 고유벡터는 1차원을 갖는다. 이런 식의 접근이 가능하다는 말입니다.

 이러한 내용을 안 지금, 다시 한번 아래의 예제를 봅시다. Row A에서 선형독립인 벡터가 1개입니다. 그럼 고유벡터는 몇 개가 될 수 있을까요. 반드시 1개겠죠. dim(Row A) + dim(Nul A) = 2이 나와야하니까요.

 그리고, 이 예제에서는 -3이라는 고유값도 갖는데, 이 경우에도 Row A의 선형독립 벡터는 1개이며, 고유벡터도 1개 밖에 존재할 수 없습니다. 아니 정확하게는 고유벡터의 개수가 아니라 선형독립인 벡터의 개수가 1개인거죠.

 이번에는 저런 고유값을 어떻게 찾느냐-에 대해 말해봅시다. 앞의 예제를 떠올려보면, A-rI를 선형의존하게끔 만들어줬을 때, 고유벡터를 찾을 수 있었습니다. 선형의존하다는 말은 해당 행렬이 역행렬을 갖지 못한다는 말이기도 했죠. 물론 역행렬을 갖고 말고 하는 문제는, 정방행렬에서만 생각하셔야합니다. 그럼 역행렬을 갖지 못한다는 말은 det(A-rI)=0라는 말이기도 했죠. 때문에 저희는 det(A-rI)=0를 만족하는 r를 찾으면, 이게 고유값이 될 것을 알 수 있습니다. 그리고 이게 바로 특정방정식(Characteristic Equation)입니다.

 예제를 봅시다. 2x2 행렬이기 때문에, 행렬식을 굉장히 쉽게 계산할 수 있겠죠. 때문에 r=-3 or 8이라는 고유값을 계산할 수 있습니다.

 이렇게 고유값을 계산하고 나면, 각각의 고유값에 대한 고유벡터를 계산할 수 있게 되겠죠. 여러분이 먼저 보셨던 예제처럼 말입니다.

 최초에 설명드렸던 것 처럼, A 라는 행렬과 r 라는 고유값은, 같은 방향을 가지되 크기가 다른 transformation을 시행하였습니다. 때문에 어떤 고유값 r에 대한 고유벡터 x에 대해, Ax를 시행한다는 것은, rx를 시행하는 것과 같고, 이는 시각적으로 아래와 같이, 방향은 유지하되 크기만 조절해주는, 그런 결과를 낳게됩니다.

 결국, 저희는 특성 방정식을 계산함으로써, 고유값을 계산하고, 해당 고유값에 맞는 고유벡터를 얻게되며, 이는 고유공간의 기저 벡터와 같게 됩니다. 이상입니다.