영공간과 직교여공간

학습목표

 이번 시간에서는 고유값과 고유벡터의 개념과 이를 구하는 과정을 벡터 공간과 결부시켜 더 깊히 이해하기 위해 새로운 벡터 공간의 개념을 배워보도록 하겠습니다.

핵심 키워드

• 영공간(Null Space)
• 직교여공간(Orthogonal Complement)

학습하기

 이제 영공간,Null space라는 것에 대해 배워봅시다. 저희가 Matrix와 Space라는 단어를 배울 때, Col A로 Span된 Subspace 등을 배웠었죠. Null space라는 건, Ax = 0의 모든 솔루션들의 집합을 의미합니다. Null A라고도 표기합니다. 여기서 저희가 접근할 방법은, A와 x의 내적을 했을 때, 0이 나온다는 부분을 보고, 아, A와 x가 서로 수직이구나. 를 생각해내는 겁니다. 더 정확하게는, A를 구성하는 각각의 Row vector와 x가 서로 수직인셈이죠. 물론 A의 Columns는 선형의존이여아겠죠. 선형독립이라면, Trivial solution 밖에 존재하지 않습니다. 이 때는 Null A = {0} 가 되겠죠.

 아래는 당연하다면 당연할, 그런 Orthogonal vector들에 대한 몇 가지 특성인데요. 어떤 Subspace의 모든 벡터들과 Orthogonal한 벡터 z는, 그 Subspace자체와 Orthogonal한다. 이러한 벡터 z의 집합을 Orthogonal complement(여집합)라고 한다. Null A = Row A의 Perpendicular다. 등이 있습니다.

 예를 들어, 3x2 차원의 A matrix를 생각해봅시다. 이 경우, Row A는 2차원 공간의 부분집합일 테고, 그럼 Row A의 Subspace의 Basis vector는 2개로 구성이 되겠죠. 앞에서 배웠던 것을 떠올려보면, 2개를 초과하는 Basis vector를 갖기란 불가능합니다. 즉 더이상 선형독립인 벡터는 존재할 수 없어요. Rank-Nullity Theorem으로 표현하면, 임의의 mxn행렬 A에 대해, Rank(A) + Nullity(A) = n이다. Rank(A)라는 건 dim(Row A) = dim(Col A) = # of pivot 등으로 말할 수 있으니 현재는 2, 그에 따라 dim(Nul A)=1이 되겠죠. 이러한 특징을 생각해보면 아래 그림과 같은, 수식이 가능하겠죠.

 아래 정리는 Nul A가 R^n 공간의 Subspace이다. 라는 말인데요. 이는 Nul A의 원소 x,y에 대해, ax+by도 Nul A의 원소임을 보이면 되는 문제입니다만, a,b가 스칼라인 이상 당연히 성립하는 명제가 되겠습니다. 이상입니다.